Đề tài Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục. A. Phần mở đầu 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Phạm vi nghiên cứu 2 Những sai lầm của học sinh khi tính tích phân và cách khắc phục 10 4.4.1. Những lỗi đơn giản mà học sinh thường mắc Đây là điều hết sức sai lầm. Thường thì zona thần kinh thường kéo dài 2 - 4 tuần sau đó mụn nước khô đóng thành vảy và tự bong tróc nên người bệnh dễ nhầm lẫn như vậy là khỏi bệnh. Giáo dục. Thi tốt nghiệp THPT: Những sai lầm thường gặp của học sinh khi ôn theo đề thi tham khảo. Thứ Sáu, 07:00, 02/04/2021. VOV.VN - Giáo viên cho rằng học sinh thường có tâm lý ôn theo đúng dạng bài đã xuất hiện trong đề tham khảo, hoặc loại trừ những bài đã gặp. Điều Một số lỗi thường gặp: Nhầm lẫn hai khái niệm cực đại và giá trị lớn nhất, nhầm lẫn hai khái niệm cực tiểu và giá trị nhỏ nhất, sai lầm khi khẳng định "hàm số đạt cực đại tại a khi và chỉ khi đạo hàm của hàm số tại a bằng 0", sai lầm khi khẳng định Toán thông minh. Chia sẻ những phương pháp học toán thông minh, phương pháp tính nhẩm nhanh, các mẹo toán học đặc biệt. Đây là một trong những nội dung kiến thức mới, đặc biệt, có thể bạn/con em bạn chưa từng được học ở trường học. Chúng đặc biệt thú vị. Từ Trích Cuốn sách tổng hợp các dạng sai lầm mà học sinh dễ mắc phải khi giải toán phổ thông. Các bài toán được trình bày theo bố cục: Sai lầm thường gặp - Nguyên nhân sai lầm - Lời giải đúng - Bình luận. YAIpc. Bài viết sẽ tổng hợp lại các sai lầm các em thường gặp khi giải Toán ở một số dạng tiêu biểu. Điều này sẽ giúp các em có được kết quả học và làm các bài kiểm tra Toán tốt hơn. Sai lầm khi biện luận nghiệm của phương trình chứa ẩn ở mẫu Với các dạng bài toán giải phương trình chứa ẩn ở mẫu,các em rất dễ có nhầm lẫn khi xác định điều kiện, đặc biệt là khi đề bài yêu cầu biện luận với đề tự luận hoặc chọn đáp án đúng xác định tập nghiệm của phương trình với đề trắc nghiệm. Các em hãy theo dõi chi tiết 1 ví dụ dưới đây để hiểu hơn về sai lầm dễ mắc phải khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu. Đề bài Cách giải của học sinh 1 Các em hãy cho biết xem cách giải của bạn học sinh trên đã chính xác chưa? Và nếu chưa chính xác, thì hãy chỉ ra sai sót của lời giải đó. Câu trả lời là Lời giải trên chưa chính xác, vì nếu chúng ta thay giá trị m=1/2 vào phương trình của đề bài - thì giá trị m này không thuộc tập nghiệm mà học sinh trên đã kết luận. Vậy làm thế nào để có thể tìm ra được giá trị m = 1/2 làm phương trình vô nghiệm? Các em hãy theo dõi cách giải của bạn học sinh thứ 2 sau đây Tới đây bạn học sinh này của chúng ta cũng xét 2 trường hợp như học sinh 1. Xem ra lời giải không khác gì so với lời giải của bạn học sinh thứ 1 nhỉ? Chúng ta cứ xem tiếp xem có chuyện lạ gì sảy ra không vậy. Nhìn và so sánh 2 lời giải trên đây, chúng ta biết, lời giải của học sinh thứ 2 chặt chẽ và đầy đủ hơn lời giải của học sinh 1. Vì thế mới có thể tìm được đầy đủ các giá trị của m để phương trình có nghiệm và vô nghiệm. Thông thường, rất nhiều học sinh gặp phải lỗi sai giống như lời giải của học sinh 1. Các em thường quên việc sau khi tìm được nghiệm, các em phải xét điều kiện tồn tại của nghiệm xem có thỏa mãn không. Lưu ý Tuy đây là 1 dạng lời giải tự luận, nhưng các em cũng cần hết sức lưu ý. Vì nếu, không nắm được các bước giải tự luận 1 cách chặt chẽ, thì chắc chắn em cũng sẽ không thể tìm ra được đáp án trắc nghiệm đúng. Sai lầm thường gặp khi áp dụng hệ thức Viet Hệ thức Viet là nội dung các em được học trong chương trình Toán học lớp 9, tuy nhiên định lý này vẫn sẽ được áp dụng trong chương trình Toán học ở cấp 3 trong các bài tập giải phương trình. việc áp dụng hệ thức Viet không khó, tuy nhiên, các em cần biết và tránh được 2 sai lầm thường gặp dưới đây Sai lầm 1 Chưa biết phương trình bậc 2 có nghiệm hay không đã áp dụng hệ thức Viet Ví dụ Với đề bài như trên, nhiều bạn sẽ áp dụng ngay hệ thức Viet vào để giải toán vì các em mặc định rằng khi tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn hệ thức thì đương nhiên phương trình đã phải có 2 nghiệm rồi. Tuy nhiên, điều đó là không đúng. Thực tế là chúng ta sẽ không thể biết được phương trình đã có 2 nghiệm hay chưa. Do đó, việc đầu tiên các em cần làm là tìm điều kiện để phương trình có nghiệm trước khi áp dụng hệ thức vào để giải toán. Sai lầm 2 Hiểu sai về điều kiện có nghiệm của phương trình Không quá phức tạp, nhưng nhiều em rất hay nhầm điều kiện có nghiệm của phương trình hay điều kiện của Δ, và cho rằng, phương trình bậc 2 chỉ áp dụng được hệ thức Viet khi phương trình có 2 nghiệm phân biệt tức là Δ>0 Tuy nhiên, các em hãy nhớ, chỉ cần phương trình có 2 nghiệm là đủ, 2 nghiệm bằng nhau vẫn áp dụng được tức là Δ≥0 Bài viết được tổng hợp từ nhiều nguồn Dưới đây là 6 lỗi sai teen 2k thường mắc phải khi làm bài thi Toán THPT quốc gia 2018. Hãy cùng theo dõi và rút kinh nghiệm cho bản thân, các bạn nhé! Mùa tuyển sinh ĐH, CĐ năm 2018 đang nóng dần, các trường đua nhau tổ chức các ngày hội tuyển sinh để quảng bá hình ảnh, thu hút thí sinh. TS Phạm Tuấn Cường – Phó trưởng khoa Khoa học cơ bản, Phó trưởng bộ môn Toán Trường ĐH Mỏ – Địa chất – chia sẻ 6 sai lầm thí sinh cần tránh khi làm bài thi môn Toán trong kỳ thi THPT quốc gia. Không đọc kỹ đề bài chẳng hạn đề yêu cầu tìm mệnh đề sai nhưng có thí sinh lại đi tìm mệnh đề đúng. Nhầm lẫn các khái niệm ví dụ, có thí sinh cho rằng hình chóp đều thì tất cả các cạnh đều bằng nhau. Xét không hết các trường hợp chẳng hạn, hệ số a của phương trình bậc 2 có chứa tham số, nhưng thì có thí sinh xét thiếu trường hợp a bằng 0 hoặc a khác 0. Ngộ nhận về kết quả tổng quát khi mới biết trường hợp riêng chẳng hạn, chọn bất đẳng thức đúng trong 4 bất đẳng thức đề cho, có thí sinh thử một trường hợp riêng và vội vã kết luận ngay, như vậy dễ sai. Bấm máy tính sai ví dụ, bấm thiếu ngoặc, hoặc để nhầm chế độ góc là độ trong khi đề yêu cầu đơn vị là radian. Phân bổ thời gian không hợp lý thí sinh quá sa đà vào câu khó, lưu ý không nên dùng quá 5 phút cho một câu. Ma trận đề thi tham khảo Toán THPT quốc gia 2018 Bí kíp ôn tập giai đoạn nước rút Ôn tập giai đoạn nước rút, theo TS Phạm Tuấn Cường, điều đầu tiên cần chuẩn bị kiến thức tự luận thật chắc. Sau đó, luyện tập làm bài chỉ trong 75 phút ít thời gian hơn thời gian làm bài thật. Cuối cùng, cần học thêm các bí kíp giải nhanh và mẹo bấm máy tính. Về những lưu ý khi làm bài thi môn Toán trắc nghiệm, TS Phạm Tuấn Cường cho biết Với những câu hình học, đọc đề, vẽ hình nhanh bằng tay, tính toán ngay trên hình vẽ. Ngoài tô vào phiếu, thí sinh nên đánh dấu đáp áp vào đề thi để khi ra đề còn có thể so đáp án và tự chấm. Nên cầm bút ở tay phải và tay trái cầm tẩy, rèn việc tô và tẩy cho thành thạo, trơn tru. “Thí sinh nhất thiết phải “chiến đấu” nhiệt tình đến phút thứ 90, không nên đầu hàng trước khi hết giờ làm bài và chỉ nộp bài khi giám thị yêu cầu” – TS Cường nhấn mạnh. Muốn biết thêm những bí kíp ôn luyện môn Toán thi THPT quốc gia 2018 “chất hơn nước cất”, teen 2k hãy tham khảo ngay khoá PEN-M 2018 – khoá học cùng bạn bứt phá điểm số tối đa trong 2 tháng cuối nhé! 3 ngày nữa là chương trình ưu đãi giảm 25% khi đặt chỗ khoá PEN-M 2018 sẽ kết thức rồi! Teen 2k mà bỏ lỡ cơ hội “ngàn năm có một” này là tiếc lắm luôn đó! VÀO ĐÂY để tham gia thôi nào teen 2k, chỉ vài phút là xong ngay thôi! Nguồn HẢI BÌNH – Báo Giáo Dục Và Thời Đại SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI TÍNH NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN CỦA CÁC HÀM SỐ HỮU TỈ VÀ VÔ TỈ Người thực hiện Phạm Thị Hằng Chức vụ Giáo viên SKKN thuộc môn Toán THANH HÓA NĂM 2016 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC 1 1. MỞ ĐẦU ……………………………………………………………. 2 Lí do chọn đề tài …………………………………………………... 2 Mục đích nghiên cứu ………………………………………………. 2 Đối tượng nghiên cứu ……………………………………………... 2 Phương pháp nghiên cứu ……………………………………..….... 2 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ………………………... 2 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm …………………………. 2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm … 3 Một số sai lầm thường gặp khi tính nguyên hàm, tích phân của các hàm số hữu tỉ và vô tỉ ………………………………………………….. 3 Sai lầm khi không nắm vững định nghĩa tích phân ……………... 3 Sai lầm khi sử dụng bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp ……………………………………………………………………… 4 Sai lầm khi biến đổi hàm số dưới dấu nguyên hàm ……………... 5 Sai lầm khi biến đổi hàm số dưới dấu tích phân ……………….... 9 Sai lầm khi vận dụng phương pháp đổi biến số …………………. 11 Sai lầm khi vận dụng phương pháp tích phân từng phần ……….. 14 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm ……………………………… 17 3. KẾT KUẬN, KIẾN NGHỊ ………………………………………….. 17 Tài liệu tham khảo 19 1. MỞ ĐẦU Lí do chọn đề tài Toán học là nền tảng của mọi ngành khoa học, là chiếc chìa khóa vạn năng để khai phá và thúc đẩy sự phát triển cho các ngành khoa học kỹ thuật, kinh tế, quân sự và trong cuộc sống. Giải tích toán học nghiên cứu về các khái niệm Giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân,... Phép toán cơ bản của giải tích là “Phép lấy giới hạn”, các yếu tố được nghiên cứu trong giải tích thường trừu tượng hơn trong đại số. Chính vì vậy mà phần lớn học sinh THPT rất lúng túng và gặp khó khăn khi học giải tích nói chung và nguyên hàm, tích phân nói riêng. Bên cạnh đó trong đề thi THPT Quốc Gia, bài toán nguyên hàm, tích phân là không thể thiếu. Trong thực tế, đa số học sinh tính nguyên hàm, tích phân đặc biệt là nguyên hàm, tích phân của các hàm số hữu tỉ và vô tỉ một cách hết sức máy móc đó là Tìm nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần mà rất ít học sinh để ý đến hàm số đó có xác định trên miền lấy nguyên hàm, tích phân hay không ? Phép biến đổi hàm số dưới dấu nguyên hàm, tích phân có tương đương không ? Phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa không ? Sử dụng phương pháp tích phân từng phần có hợp lí không ? Vì thế trong quá trình tính nguyên hàm, tích phân học sinh mắc phải rất nhiều sai lầm mà chưa có tài liệu nào giúp các em tránh được những sai lầm đó. Với hy vọng giúp học sinh khắc phục được những nhược điểm nói trên và đạt được kết quả cao trong kì thi THPT Quốc Gia, tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến kinh nghiệm “Một số sai lầm thường gặp khi tính nguyên hàm, tích phân của các hàm số hữu tỉ và vô tỉ”. Mục đích nghiên cứu - Giúp bản thân tự học hỏi, tự nâng cao kiến thức về phần này. - Vận dụng vào quá trình giảng dạy, đặc biệt là ôn cho học sinh thi THPT Quốc gia. - Giúp học sinh nắm vững kiến thức, đạt kết quả cao trong quá trình học tập. Đối tượng nghiên cứu Một số sai lầm thường gặp khi tính nguyên hàm, tích phân của các hàm số hữu tỉ và vô tỉ. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin, lựa chọn các ví dụ cụ thể, phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán. - Thực nghiệm sư phạm. - Kết hợp linh hoạt các phương pháp dạy học. 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm Dạy học là một quá trình luôn luôn vận động và phát triển không ngừng. Sự vận động và phát triển mang tính quy luật thống nhất giữa hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò. Người giáo viên, với vai trò chủ thể tác động sư phạm phải biết thiết kế và tổ chức quy trình dạy học như xác định mục tiêu, nhiệm vụ dạy học, lựa chọn nội dung, vận dụng các phương pháp, phương tiện và hình thức tổ chức dạy học. Trong quá trình dạy học, người thầy phải biết chọn lọc những kiến thức cơ bản quan trọng để truyền thụ cho học sinh. Đồng thời phải dẫn dắt học sinh biết tìm tòi, phát hiện tri thức mới và từng bước giải quyết các vấn đề đó thông qua các phương pháp dạy học phong phú, linh hoạt, phù hợp với từng đối tượng học sinh. Trong quá trình dạy học, học sinh không ngừng phát huy tính tích cực nhận thức, tự mình rèn luyện các thao tác trí tuệ. Vì vậy giáo viên phải giúp học sinh tự mình khám phá trên cơ sở tự giác và được tự do suy nghĩ, tranh luận, đề xuất các vấn đề cần được giải quyết. Khi học sinh phát hiện được một bài toán hay, điều đó sẽ giúp các em học toán có hiệu quả hơn và được hưởng trọn niềm vui khi tự mình giải được bài toán. Vậy khi dạy học toán là phải biết phát huy tính sáng tạo và khả năng tư duy toán học sẵn có của học sinh, tạo cho các em niềm tin vào môn học này. Đặc trưng của toán học là tính trừu tượng cao độ, tính lôgic và tính thực nghiệm. Vì thế, người giáo viên phải chú ý đến tất cả các phương diện đó mới có thể hướng dẫn học sinh học toán, mới khai thác được đầy đủ tiềm năng môn toán để thực hiện mục tiêu giáo dục toàn diện. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng là nội dung của chương III sách giáo khoa giải tích 12. Đây là một nội dung khó, đối với học sinh bởi trong các chương trước, học sinh đang làm quen với đạo hàm, còn chương này tính nguyên hàm, tích phân giống như “bài toán ngược” của tính đạo hàm. Bởi vậy học sinh rất lúng túng khi làm các bài toán tính nguyên hàm, tích phân của các hàm số phức tạp như hàm số hữu tỉ, hàm số vô tỉ và thường gặp phải những khó khăn sau - Không nắm vững định nghĩa nguyên hàm, tích phân. - Không nắm vững phương pháp đổi biến số. - Không nắm vững phương pháp tính tích phân từng phần. Một số sai lầm thường gặp khi tính nguyên hàm, tích phân của các hàm số hữu tỉ và vô tỉ. Sai lầm khi không nắm vững định nghĩa tích phân Ví dụ 1. Tính tích phân - Học sinh đã giải như sau Ta có Sử dụng phép đồng nhất thức, ta có - Phân tích sai lầm Học sinh không xét tính liên tục của hàm số trên đoạn và đa số học sinh cho rằng đề bài yêu cầu tính tích phân thì mặc định tồn tại của phép tính tích phân đó. - Lời giải đúng Hàm số không xác định tại x = 2 và x = 3 thuộc đoạn suy ra hàm số không liên tục trên đoạn , do đó tích phân trên không xác định. - Như vậy, cần lưu ý Khi tính tích phân cần xét xem hàm số có liên tục trên đoạn không. Nếu có thì sử dụng các phương pháp đã học để tính tiếp, còn nếu không thì kết luận ngay tích phân đó không tồn tại. Sai lầm khi sử dụng bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp Ví dụ 2. Tính tích phân - Học sinh đã giải như sau - Phân tích sai lầm Học sinh không xét trường hợp - Lời giải đúng + Trường hợp 1 Với , ta có + Trường hợp 2 Với , ta có - Như vậy, cần lưu ý Với các bài toán chứa tham số, chúng ta cần hết sức thận trọng bởi công thức chỉ đúng khi . Còn khi thì . Ví dụ 3. Tính nguyên hàm - Học sinh đã giải như sau Đặt - Phân tích sai lầm Học sinh không xét trường hợp - Lời giải đúng + Trường hợp 1 Với , ta có + Trường hợp 2 Với , đặt - Như vậy, cần lưu ý Khi tính nguyên hàm của hàm số chứa tham số, chúng ta cần lưu ý xét các trường hợp riêng của tham số rồi mới được sử dụng bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp. Sai lầm khi biến đổi hàm số dưới dấu nguyên hàm Ví dụ 4. Tính nguyên hàm - Học sinh đã giải như sau Đặt - Phân tích sai lầm Phép biến đổi là không tương đương. Do đó, bài giải của học sinh chỉ đúng trong trường hợp . - Lời giải đúng Điều kiện tồn tại của hàm số là Ta xét hai trường hợp + Trường hợp 1 Với , ta có Đặt + Trường hợp 2 Với , ta có Đặt - Như vậy, cần lưu ý Trước khi biến đổi hàm số dưới dấu nguyên hàm cần tìm điều kiện tồn tại của hàm số . Ví dụ 5. Tính nguyên hàm - Học sinh đã giải như sau Đặt - Phân tích sai lầm Khi đưa ra khỏi căn bậc hai học sinh không chú ý đến dấu của x. - Lời giải đúng + Trường hợp 1 Với , ta có Đặt + Trường hợp 2 Với , ta có Đặt - Như vậy, cần lưu ý Khi biến đổi hàm số dưới dấu nguyên hàm, đặc biệt là hàm số chứa căn bậc hai thì Sai lầm khi biến đổi hàm số dưới dấu tích phân Ví dụ 6. Tính tích phân - Học sinh đã giải như sau - Phân tích sai lầm Phép biến đổi với là không tương đương. - Lời giải đúng - Như vậy, cần lưu ý . Do đó, khi tính ta phải xét dấu hàm số trên đoạn rồi sử dụng tính chất của tích phân tách I thành tổng của các tích phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ 7. Tính tích phân - Học sinh đã giải như sau Đặt Đổi cận Với thì Với thì - Phân tích sai lầm Phép biến đổi không tương đương vì trong đoạn chứa . Nên không thể chia cả tử và mẫu cho được. - Lời giải đúng Xét hàm số Ta có . Do đó - Như vậy, cần lưu ý Khi tính tích phân cần chia cả tử và mẫu cho x cần để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm . Sai lầm khi vận dụng phương pháp đổi biến số Ví dụ 8. Tính tích phân - Học sinh đã giải như sau Đặt . - Phân tích sai lầm Đổi biến nhưng không đổi cận. - Lời giải đúng Đặt Đổi cận Với thì Với thì . - Như vậy, cần lưu ý Khi đổi biến cần phải đổi cận. Ví dụ 9. Tính tích phân - Học sinh đã giải như sau Đặt Đổi cận Với thì Với thì - Phân tích sai lầm Khi đổi biến , học sinh không lấy vi phân . - Lời giải đúng Đặt Đổi cận Với thì Với thì - Như vậy, cần lưu ý Khi đổi biến phải lấy vi phân hai vế. Ví dụ 10. Tính tích phân - Học sinh đã giải như sau Đặt Đổi cận Với thì Với thì Đến đây học sinh thường rất lúng túng vì cận tích phân lẻ, do đó các em khó tìm ra được đáp số. - Phân tích sai lầm Khi gặp tích phân của hàm số có chứa biểu thức thông thường ta đặt hoặc . Nhưng đối với ví dụ 10, nếu làm theo cách này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận. Cụ thể khi ta không thể tìm chính xác được . - Lời giải đúng Đặt Đổi cận Với thì Với thì - Như vậy, cần lưu ý Khi gặp tích phân của hàm số có chứa biểu thức nếu cận của tích phân là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì ta mới tính tích phân bằng cách đặt hoặc còn nếu không thì phải tìm phương pháp khác. Sai lầm khi vận dụng phương pháp tích phân từng phần Ví dụ 11. Tính tích phân - Học sinh đã giải như sau Đặt - Phân tích sai lầm Học sinh nhầm giữa phép lấy vi phân và phép lấy đạo hàm. - Lời giải đúng Đặt - Như vậy, cần lưu ý Khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân của hàm số có chứa thì phải nghĩ ngay đến đặt . Vì nếu đặt thì không xác định được . Đặc biệt không nhầm lẫn giữa tính vi phân và tính đạo hàm. Tuy nhiên, cũng có một số bài tính tích phân hàm số chứa mà đặt thì tính tích phân ban đầu trở nên rất phức tạp. Cụ thể Ví dụ 12. Tính tích phân - Học sinh đã giải như sau Đặt Cần tính tích phân Đặt Đổi cận thu được tích phân cơ bản - Nhận xét Cách giải này trải qua hai bước là lấy tích phân từng phần và sau đó đổi biến số. Như vậy, cách làm này không đẹp về hình thức, quá dài dòng nên đôi khi dẫn đến sự nhầm lẫn trong tính toán. Đặc biệt khi lấy tích phân từng phần rất ít học sinh tìm được . - Lời giải khác Đặt Đổi cận Với thì Với thì Đặt - Như vậy, cần lưu ý Khi gặp tích phân có chứa , không nhất thiết phải sử dụng luôn phương pháp tích phân từng phần mà chúng ta có thể sử dụng phương pháp đổi biến trước để hình thức bài giải được đẹp hơn. - Thông qua hai ví dụ trên, rút ra Khi sử dụng tích phân từng phần để tính tích phân, ta cần phải tuân thủ các nguyên tắc sau 1. Lựa chọn phép đặt sao cho được xác định dễ dàng. 2. Tích phân được xác định một cách dễ dàng hơn so với tích phân ban đầu. Các bài tập tương tự Tính các nguyên hàm và tích phân sau 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm. Đối với học sinh - Năm học 2015- 2016 tôi được phân công giảng dạy lớp 12H và 12I. Ban đầu học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc giải những dạng nguyên hàm, tích phân như đã nêu. Bởi vậy, tôi đã đưa đề tài nghiên cứu này vào trải nghiệm thực tế. Tôi đã hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích một bài toán tích phân từ hàm số dưới dấu tích phân, cận của tích phân để lựa chọn phương pháp phù hợp trên cơ sở tôi đã đưa ra những sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong quá trình suy luận, trong các bước tính tích phân này rồi từ đó hướng các em đi đến lời giải đúng. - Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài tập trong sách giáo khoa Giải tích lớp 12 và một số bài tập trong các đề thi thử THPT Quốc Gia thì thấy các em đã thận trọng trong khi trình bày lời giải và đã giải tốt một lượng lớn bài tập đó. - Và đây là kết quả bài kiểm tra của hai lớp 12H, 12I trường THPT Thiệu Hóa + Trước khi áp dụng đề tài TT Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu, kém SL % SL % SL % SL % 1 12H 41 0 0 10 24,4 11 26,8 20 48,8 2 12I 46 0 0 12 26,1 13 28,3 21 45,6 + Sau khi áp dụng đề tài TT Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu, kém SL % SL % SL % SL % 1 12H 41 8 19,5 18 43,9 13 31,7 2 4,9 2 12I 46 10 21,7 21 45,7 12 26,1 3 6,5 Đối với giáo viên - Giáo viên hệ thống được một số sai lầm trong các dạng toán nguyên hàm, tích phân từ đó hướng dẫn học sinh học phần nguyên hàm, tích phân một cách hứng thú, phát huy sáng tạo. - Trên cơ sở này giáo viên tìm ra những phương pháp giảng dạy nguyên hàm, tích phân một cách hiệu quả, thú vị. 3. KẾT KUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận. Nghiên cứu phân tích một số sai lầm của học sinh khi tính nguyên hàm, tích phân của các hàm số hữu tỉ và vô tỉ có ý nghĩa rất lớn trong quá trình dạy học vì khi áp dụng sáng kiến này sẽ giúp học sinh nhìn thấy được những điểm yếu và những hiểu biết chưa thật thấu đáo của mình về vấn đề này từ đó phát huy ở học sinh tư duy độc lập, năng lực suy nghĩ tích cực chủ động củng cố trau dồi thêm kiến thức, đạt được kết quả cao trong quá trình học tập và kì thi THPT Quốc Gia. Những biện pháp và việc làm của tôi như đã trình bày ở trên, bước đầu đạt được kết quả chưa thật mỹ mãn đối với tâm ý của bản thân. Tuy nhiên, nếu thực hiện tốt tôi nghĩ nó cũng góp phần đổi mới phương pháp dạy học mà ngành đang quan tâm và chỉ đạo. Mặt khác, với cách trình bày như trên nếu thành công. Tôi thiết nghĩ, chúng ta có thể áp dụng cho một số phần khác như Sai lầm khi tính đạo hàm, sai lầm khi giải một số phương trình mũ, logarit …… Tôi tin rằng kinh nghiệm của tôi cũng chỉ là một trong những biện pháp nhỏ bé trong vô vàn kinh nghiệm được đúc kết qua sách vở, cũng như của thầy giáo, cô giáo cùng các bạn đồng nghiệp. Vì vậy, bản thân tôi rất mong được sự góp ý, xây dựng của quý thầy giáo, cô giáo, cùng các bạn đồng nghiệp, nhằm giúp tôi từng bước hoàn thiện phương pháp giảng dạy của mình. Từ đó, bản thân tôi có điều kiện cống hiến nhiều hơn nữa cho sự nghiệp giáo dục mà toàn Đảng, toàn dân ta hằng quan tâm. Tôi xin chân thành cảm ơn ! Kiến nghị. Đối với nhà trường Hiện nay nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên chưa có một cuốn sách nào viết về sai lầm của học sinh khi giải toán. Vì vậy nhà trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách tham khảo loại này để học sinh tìm tòi về những sai lầm thường mắc để các em có thể tránh được những sai lầm đó trong khi giải bài tập. Đối với Sở GD&ĐT Những sáng kiến có chất lượng cần được giới thiệu phổ biến đến các trường THPT để cùng nhau trao đổi và áp dụng thực tế. XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh hóa, ngày 10 tháng 4 năm 2016 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác. Tác giả Phạm Thị Hằng Tài liệu tham khảo 1. Giải tích 12 nâng cao- Đoàn Quỳnh Tổng chủ biên- NXB Giáo dục. 2. Phương pháp giải toán tích phân- Lê Hồng Đức Chủ biên- NXB ĐHSP. 3. Giải toán Giải tích 12 tập 2- Lê Hồng Đức Chủ biên- NXB Hà Nội. 4. Phương pháp giải toán tích phân và giải tích tổ hợp- Nguyễn Cam- NXB Trẻ. 5. Bài tập trọng tâm theo 19 chủ đề ôn thi đại học môn Toán- Nguyễn Thế Chinh- NXB Giáo dục. MỤC LỤC STT 1 1. MỞ ĐẦU 2 Lý do chọn đề tài 3 Mục đích nghiên cứu 4 Đối tượng nghiên cứu 5 Phương pháp nghiên cứu 6 2. NỘI DUNG 7 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 8 Thực trạng và giải pháp thực hiện 9 Hiệu quả của sang kiến kinh nghiệm 10 3. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 11 Kết luận 12 Kiến nghị 13 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài Chúng ta đã biết dạy Toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem giải toán là phương tiện chủ yếu của hoạt động toán học. Dạy học toán đóng vai trò đặc biệt quan trọng trong dạy Toán ở trường phổ thông. Các bài toán là phương tiện vô cùng hiệu quả không gì thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo. Hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích khác của dạy học toán. Do đó tổ chức tốt việc dạy giải Toán có vai trò quyết định đến chất lượng dạy học toán. Thực tiễn cho thấy chất lượng dạy học toán ở trường phổ thông có lúc, có chỗ còn chưa được như mong muốn, biểu hiện qua năng lực giải Toán của học sinh còn hạn chế do học sinh còn mắc nhiều sai lầm. Một trong những nguyên nhân quan trọng đó là giáo viên còn chưa chú ý một cách đúng mức tới việc phát hiện sai lầm và uốn nắn, sửa chữa những sai lầm thường gặp cho học sinh ngay trong các giờ học Toán. Chính vì vậy mà ở học sinh nhiều khi sai lầm nối tiếp sai lầm. Trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN của các năm trước đây mà nay là kỳ thi THPT Quốc gia bài toán Nguyên hàm, Tích phân tôi thiết nghĩ hầu như không thể thiếu, nhưng đối với học sinh THPT các bài toán nguyên hàm, Tích phân là những bài toán khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, tính chất, các phương pháp tính Nguyên hàm, Tích phân và một số kỹ năng khác. Trong thực tế nhiều học sinh tính một cách hết sức máy móc đó là tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? Phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa hay không? Phép biến đổi hàm số có tương đương hay không? Vì thế trong quá trình giải bài toán Nguyên hàm, Tích phân học sinh thường mắc phải những sai lầm đẫn đến lời giải sai. Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở trường THPT và nhiều năm nghiên cứu những sai lầm của học sinh trên nhiều chuyên đề Toán học khác nhau nhất là trong giai đoạn ngành Giáo dục đang trên đường “Đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục phổ thông” như hiện nay tôi nhận thấy rõ những yếu điểm này của học sinh. Vì vậy, tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “Một số sai lầm phổ biến trong việc giải bài toán nguyên hàm, tích phân và hướng khắc phục” Mục đích nghiên cứu Làm sáng tỏ và nhắc phục những sai lầm của học sinh phổ thông khi giải các bài toán nguyên hàm, tích phân, từ đó đề ra hướng khắc phục các sai lầm đó, để góp phần nâng cao chất lượng dạy – học Toán ở trường phổ thông nói chung và giải các bài toán nguyên hàm, tích phân nói riêng. Đối tượng nghiên cứu Qua nhiều năm giảng dạy Toán ở trường phổ thông cũng như đọc nhiều tài liệu toán học đặc biệt là đọc các tài liệu toán học liên quan đến nguyên hàm, tích phân bản thân tôi nhận thấy cần phải giúp các em học sinh cũng như giáo viên có cách nhìn sâu sắc, chắc chắn khi giải Toán để tránh những sai lầm khi giải Toán. Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp chủ yếu nghiên cứu trong sáng kiến này bao gồm - Nghiên cứu lý luận Lựa chọn các ví dụ cụ thể để phân tích các sai lầm của học sinh, vận dụng năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng. - Thực nghiệm sư phạm trên các lớp 12 của trường THPT Yên Định 1. 2. NỘI DUNG Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm Căn cứ vào bảng nguyên hàm thường gặp, phương pháp đổi biến số, phương pháp từng phần sau đây Sách Giáo khoa Đại số lớp 12 – Nâng cao – NXBGD hiện hành do Đoàn Quỳnh chủ biên a Bảng nguyên hàm thường gặp b Phương pháp đổi biến số c Phương pháp từng phần Thực trạng và giải pháp thực hiện Sau đây sáng kiến xin đưa ra một số ví dụ cụ thể trong đó có chỉ ra những sai sót và bình luận về những nguyên nhân sai lầm thường xẩy ra và đưa ra hướng khắc phục cho một số sai lầm đó Ví dụ 1. Tính I = . a Sai lầm thường gặp Ta có I = = + C. b Nguyên nhân sai lầm Lời giải trên đã vận dụng công thức với n 1. Tuy nhiên trong trường hợp này phải đặt u = 3x + 2 du = 3dx. c Lời giải đúng Ta có I = = + C. d Một số bài tập tương tự 1 Tính nguyên hàm I = 2 Tính nguyên hàm I = Ví dụ 2. Tính I = a Sai lầm thường gặp Đặt t = x + 12 dt = 2x + 1dx Với x = - 2 t = 1 x = 0 t = 1. Khi đó I = I = = = 0. b Nguyên nhân sai lầm - Hàm số t = x + 12 không phải là hàm số đơn điệu trên [- 2; 0] nên không thể đổi biến, đổi cận như lời giải trên mà cần viết thành hai hàm số đơn điệu trước khi đổi biến. - Lời giải trên còn sai khi viết . Chỉ viết được x + 1 = , khi x - 1. c Lời giải đúng Ta có I = = Sau đó từng tích phân trên chúng ta mới đổi biến. * Chú ý. Cách giải trên chỉ muốn đưa ra để lưu ý tới việc đổi biến bị sai ở trên. Chúng ta có thể giải theo cách khác tốt hơn sau Cách 2. I = = = d Một số bài tập tương tự Ví dụ 3. Tính tích phân I = a Sai lầm thường gặp I = = = = . b Nguyên nhân sai lầm - Hàm số y = gián đoạn tại x = - 2 nên không thể dùng công thức Newton - Leidnitz như trên được. c Lời giải đúng Hàm số y = không xác định tại x = - 2 nên tích phân trên không tồn tại. * Chú ý. Khi tính cần chú ý xem hàm số y = fx có liên tục trên không? Nếu có thì áp dụng các phương pháp đã học để tính tích phân. Nếu không liên tục thì kết luận ngay tích phân đó không tồn tại. d Một số bài tập tương tự Tính các tích phân sau 1 I = . 2 I = . 3 I = 4 I = . 5 I = Ví dụ 4. Tính tích phân sau I = dx a Sai lầm thường gặp I = dx = b Nguyên nhân sai lầm - Nguyên nhân sai lầm ở trên là do học sinh nắm không rõ phép đưa ra khỏi dấu can bậc hai. - Phép biến đổi , với x là không tưng đương. c Lời giải đúng I = dx = = 1. * Chú ý. Ta có , I = ta phải xét dấu fx trên đoạn rồi dùng các tính chất của tích phân tách tích phân ban đầu thành tổng của hai tích phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối. d Một số bài tập tương tự 1 I = dx 2 I = dx; 3 I = dx 4 I = dx 5 I = dx. Ví dụ 5. Tính tích phân I = a Sai lầm thường gặp Đặt t = tan thì dx = ; = = = dt+1 = + c I = = = - Do tan không xác định nên tích phân trên không tồn tại. b Nguyên nhân sai lầm Đặt t = tan , x tại x = thì tan không có nghĩa. c Lời giải đúng I = = = tan . * Chú ý. Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = ux thì ux phải là hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên . d Một số bài tập tương tự Tính các tích phân sau 1 I = 2 I = . Ví dụ 6. Tính tích phân sau I = a Sai lầm thường gặp I = Đặt t = x+ Đổi cận Với x = -1 thì t = -2; Với x =1 thì t =2. I = = = ln - ln = ln b Nguyên nhân sai lầm là sai vì trên đoạn chứa x = 0 nên không thể chia cả tử và mẫu cho x = 0 được. c Lời giải đúng Xét hàm số Fx = F’x = Do đó I = = * Chú ý. Khi tính tích phân mà chia cả tử và mẫu cho x cần để ý rằng trên đoạn lấy tích phân đó phải không chứa điểm x = 0. Ví dụ 7. Tính tích phân I = a Sai lầm thường gặp Đạt x= sint dx = costdt Khi đó I = Đổi cận với x = 0 thì t = 0 Với x = thì t = ? b Nguyên nhân sai lầm Khi gặp tích phân của hàm chứa thì thường đặt x = sint nhưng đối với tích phân này gặp khó khăn khi đổi cận, cụ thể với x = nhưng không tìm được chính xác t bằng bao nhiêu? c Lời giải đúng Đặt t = dt = Đổi cận với x = 0 thì t = 1; với x = thì t = . Khi đó I = = . * Chú ý. Khi gặp tích phân của hàm số chứa thì thường đặt x = sint hoặc gặp tích phân của hàm số chứa 1 + x2 thì thường đặt x = tant, nhưng cần chú ý đến cận của tích phân đó. Nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới chọn làm theo phương pháp này, còn nếu không thì phải chọn phương pháp khác. d Một số bài tập tương tự Tính các tích phân sau 1 I = 2 I = Hiệu quả của sang kiến kinh nghiệm Hiệu quả thực tiễn Trong quá trình giảng dạy toán ở trường phổ thông đặc biệt là khi dạy học sinh giải các bài toán nguyên hàm, tích phân ban đầu học sinh gặp khó khăn, lúng túng đối với các bài toán như đã nêu trên. Tuy nhiên sau khi được thầy giáo chỉ rõ những sai lầm thường gặp, phân tích tỉ mỉ, cẩn thận để chọn lựa phương pháp phù hợp, hướng các em học sinh đi đến lời giải đúng. Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu các em học sinh giải cẩn thận một số bài toán nguyên hàm, tích phân trong sách giáo khoa Giải Tích lớp 12 và một số bài toán trong các đề thi Đại học, cao đẳng của những năm gần đây các em đã thận trong hơn khi đi tìm và trình bày lời giải và đã giải không những được mà còn rất tốt về số lượng và chất lượng lớn các bài tập về nguyên hàm, tích phân. Hiệu quả thực nghiệm Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2014 – 2015 tại trường THPT Yên Định 1. Bài kiểm tra trên hai đối tượng học sinh là lớp 12A7có 44 học sinh không áp dụng sáng kiến này; lớp 12A6 có 43 học sinh áp dụng sáng kiến này cho kết quả như sau Xếp loại Đối tượng Giỏi Khá Tb Yêú 12A6 25,5% 44% 30,5% 0% 12A7 10,5% 19,5% 65% 5% Sau khi triễn khai thực hiện sáng kiến học sinh học tập tích cực, hứng thú đặc biệt là khi giải bài toán nguyên hàm, tích phân, các em giải toán nguyên hàm, tích phân rất thận trọng và hiểu rõ bản chất của vấn đề chứ không rập khuôn một cách máy móc như trước kia. Đó là việc thực hiện phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh. 3. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ Kết luận. Sáng kiến tập trung nghiên cứu một số sai lầm của học sinh khi giải bài toán nguyên hàm, tích phân có ý nghĩa quan trọng trong quá trình dạy – học vì khi áp dụng sáng kiến này giúp học sinh nhìn thấy được điểm yếu, những hiểu biết chưa thực sự thấu đáo của bản thân. Từ đó các em học sinh có thể phát huy được tính chủ động, độc lập sáng tạo, năng lực tư duy, suy nghĩ sáng tạo, trau rồi thêm kiến thức về nguyên hàm, tích phân từ đó làm chủ được kiến thức, đạt được kết quả cao trong quá trình học tập để chuẩn bị hành trang kiến thức để các em học sinh tự tin bước vào kỳ thi THPT Quốc Gia đạt kết quả cao trong thời kỳ đẩy mạnh việc “Đổi mới căn bản và toàn diện Giáo Dục phổ thông” như hiện nay. Kiến nghị Hiện nay trường THPT Yên Định 1 đẵ có một số sáng kiến kinh nghiệm mà chúng tôi đẵ nghiên cứu trong một số năm gần đây, có một số sách tham khảo. Tuy nhiên sách tham khảo viết về những sai lầm trong các chủ đề toán học còn hạn chế, chưa nhiều. Vì vậy, nhà trường cần quan tâm hơn nữ trong việc trang bị thêm các tài liệu tham khảo đặc biệt là các tài liệu viết về sai lầm thường gặp trong giải toán. Việc học sinh đọc các tài liệu viết về sai lầm khi giải toán còn hạn chế. Do đó nhà trường cần tuyên truyền, tổ Toán cần có những buổi ngoại khoá tuyên truyền để học sinh hiểu thêm, từ đó các em chủ động đến thư viện, mua thêm tài liệu đọc để góp phần thêm, trang bị thêm kiến thức toán học phổ thông cho bản thân. Từ đó các em tự tin bước vào kỳ thi THPT Quốc Gia. Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm này là do bản thân tự làm, không sao chép của người khác. Yên Định, ngày 26 tháng 5 năm 2016 Người viết SKKN Thiều Thanh Hải Xác nhận của BGH trường THPT Yên Định 1 …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Sách giáo khoa Giải tích 12 NXBGD – 2008. 2. Sách giáo khoa Giải tích 12 NXBGD – 2000. 3. Phương pháp giải toán Tích phân Trần Đức Huyên – Trần Chí Trung – NXBGD. 4. Phương pháp giải toán Tích phân Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – NXB Hà Nội - 2005. 5. Sai lầm phổ biến khi giải toán Nguyễn Vĩnh Cận – Lê Thống Nhất – NXBGD – 2003. 6. Sai lầm thường gặp và sáng tạo khi giải toán Trần Phương và Nguyễn Đức Tấn – NXB Hà Nội – 2004. 1. Ý KIẾN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. Ý KIẾN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP NGÀNH …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

những sai lầm thường gặp khi giải toán thpt